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    MICROECONOMIE


     

     

    Introduction

     

    Les agents économiques sont caractérisés par des préférences, objectifs, qu'ils visent à atteindre, tout en respectant des contraintes qui limitent les choix possibles.

     

    Il y a une autre hypothèse fondamentale qui concerne les modalités avec lesquelles les agents s'efforcent d'atteindre les objectifs.

     

    L'analyse microéconomique s'intéresse à la manière dont les individus réalisent leurs objectifs à travers les échanges marchands. Le concept de marché est donc au coeur de l'analyse microéconomique. Le marché est le mécanisme qui organise la confrontation des offres et des demandes pour un certain type de bien ou de service et qui conduit à la détermination d'un prix.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    La courbe décroissante représente l'ensemble des quantités demandées et la courbe croissante l'ensemble des quantités offertes. Le point de rencontre de ces deux courbes est le point d'équilibre, où l'offre correspond exactement à la demande.

     

    Etudier la courbe de demande globale et ses variations relève de la théorie du consommateur, et l'étude de l'offre globale relève de la théorie du producteur.

     

    La microéconomie présente de nombreux aspects, outils...

     

     

    CHAPITRE 1 : La théorie du consommateur

     

     

    Le consommateur est une unité de décision en matière de consommation : il peut être un individu, ou un ménage. Il dispose d'un certain revenu, budget, qui lui permet d'acquérir un certain nombre de biens à des prix unitaires qui lui sont imposés. Il peut aussi prendre en compte ses goûts et ses préférences. Donc ce sont ses revenus, les prix des biens et ses préférences qui vont orienter les choix du consommateur, pour enfin le faire acheter des biens de consommation.

     

    Section 1 : la contrainte budgétaire

     

    I. La description de la droite de budget

     

    Tout consommateur a une contrainte de budget. Cela signifie que le consommateur ne peut dépenser sur le long terme plus que les revenus dont il dispose. On peut représenter cette contrainte par ce que l'on appelle la droite de budget.

     

    Exemple : considérons un revenu R = 1 000. Le consommateur achète un bien en quantité x1 à un prix unitaire P1 = 10, et un bien 2 en quantité x2 à un prix P2 = 50.


    La contrainte budgétaire ici est le revenu R=1 000=10x1+50x2 <=> 50x2=1000  10x1 x2=20x15

     

    On est un présence d'une fonction affine, donc graphiquement, on peut représenter cette contrainte par une droite, la droite budgétaire.

     

    x2

     

    20

     

     

     

     

     

     

    100

    x1

     

     

    Il faut reprendre ceci d'une façon plus générale maintenant. Si on remplace les prix de tout à l'heure par des valeurs abstraites, alors on a : P1 x 1+P 2 x 2≥R . Si on a P1 x 1+P 2 x 2=R , alors la contrainte est saturée, c’est-à-dire que toute le budget est consacré à l'achat de biens ou de services.

    En isolant x2, on a : x 2=PP21x 1+ PR2

     

     

    x2 R/P2

     

     

     

     

     

    R/P1

    x1

     

     

    Le point R/P2 correspond au point où on atteint le maximum de biens 2 achetés, avec 0 biens 1. Le point R/P1 correspond au point où on atteint le maximum de biens 1 achetés, avec 0 biens 2.

     

    Dans la contrainte de budget, on a des paramètres, mais aussi des variables. Les variables sont les quantités ; et les paramètres correspondent aux prix, autrement dit à ce qui est imposé au consommateur. Ce qui nous intéresse ici, c'est aussi de voir la façon dont la contrainte va évoluer lorsqu'on modifie l'un des paramètres, ce que nous allons voir dans le II.

     

    II. Le déplacement de la droite de budget

     

     

    Il

    faut

    regarder

    l'évolution des points

    extrêmes, et la pente de la droite. Pour rappel :

     

    x 2=

    P1

    x 1+

    R

    et les extremums :

     

    R

    et

    R

     

     

    P 2

    P 2

    P 1

    P 2

     

     

     

     

     

     

     

    x2

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    R/P2

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    R/P1

    x1

    Si R augmente, la pente ne change pas. Les deux extremums augmentent puisqu'ils ont R au


    numérateur, et on obtient une droite parallèle, décalée vers la droite (droite verte).

    Si R diminue, même raisonnement. La droite se déplace vers la gauche (droite rouge).

     

    Maintenant, supposons une augmentation de P1. P2 et R restent inchangés, donc la valeur maximale de x2 ne change pas. Du côté de l'abscisse, puisque le dénominateur augmente, le quotient est réduit donc on observe un déplacement du point vers la gauche (droite orange), la pente devient plus forte. C'est logique : si les prix augmentent, notre champ de possibles est réduit.

      

    A présent, considérons que P1 et P2 augmentent, et que le revenu diminue. Le point

    R

    est

     

     

     

    P 2

     

     

     

     

    R

    déplacé vers la gauche puisque le quotient diminue, à l'instar du point                                        qui est déplacé vers le

    P 1

     

    bas. Quant à la pente, ça dépend des proportions : si P1 augmente plus que P2, le rapport augmente, et la pente est plus forte ; si P2 augmente plus que P1 , le rapport diminue et la pente est plus faible; si P1 et P2 augmentent proportionnellement, alors le rapport reste le même.

     

    Section 2 : la théorie de l'utilité

     

    I. La controverse autour de la valeur

     

    Les économistes anglais, classiques des XVIII et XIXe, estimaient que la valeur d'un bien pouvait être cernée à partir des coûts de production. Ricardo ira un peu plus loin en considérant que les biens tirent leur valeur de deux sources : d'une part, de la quantité de travail nécessaire pour être fabriqué (= coût de production, comme précédemment) mais aussi la rareté du bien. Lorsque les biens ne sont pas reproductibles en grandes séries, leur valeur serait fixée par leur rareté. En revanche, pour les biens facilement reproductibles, leur valeur serait davantage liée aux coûts de production.

     

    Après les classiques, on a par opposition les économistes néoclassiques comme Jevons, qui présentent une analyse de la valeur des biens fondée sur des éléments psychologiques. La valeur d'un bien ne dépendrait pas des coûts de production, mais de la rareté et de l'utilité des biens. Mais qu'est ce que l'utilité ? L'utilité est la satisfaction que l'on retire de la consommation d'un bien. A partir de cette notion d'utilité, on présente la consommation comme un problème de choix individuel.

     

    II. L'utilité cardinale

     

    Influencés par la philosophie utilitariste qui cherche à démontrer que les individus agissent pour maximiser leur bien être, les économistes néoclassiques de la fin du XIXe (essentiellement l'anglais Jevons, l'autrichien Menger, et le français Walras) ont développé une théorie dans laquelle l'individu est capable de mesurer par un indice quantitatif précis l'utilité qu'il retire de la consommation d'un bien, et on exprime par un nombre le niveau d'utilité résultant de ses choix.

     

    2.1 L'utilité

     

    L'utilité totale, U, d'un bien quelconque x, mesure la satisfaction globale que l'invidivu retire de la consommation de ce bien. Le niveau d'utilité U dépend de la quantité du bien x.

     

    La fonction d'utilité est la relation mathématique qui permet de déterminer le niveau d'utilité en fonction de la quantité du bien consommé.

     

    Considérons qu'un consommateur consomme deux biens 1 et 2, en quantités x1 et x2. Le couple x1,x2 sera appelé vecteur de consommation, ou panier de consommation. A tous vecteur de consommation est associé un nombre appelé utilité, qui représente le niveau de satisfaction du consommateur.


    Supposons tout d'abord que l'utilité associée à la consommation du bien x1, est notée u(x1) et celle associée à x2 et v(x2) ; et que U(x1,x2), utilité totale, est la somme de l'utilité associée à la consommation du bien 1 et de l'utilité associée à la consommation du bien 2.


     

     

    x1

    u(x1)

     

    x2

    v(x2)

     

     

     

     

     

    0

    0

     

    0

    0

     

     

     

     

     

    1

    12

     

    1

    20

     

     

     

     

     

    2

    20

     

    2

    30

     

     

     

     

     

    3

    27

     

    3

    37

     

     

     

     

     

    4

    33

     

    4

    41

     

     

     

     

     

    5

    36

     

    5

    43

     

     

     

     

     

    6

    38

     

    6

    44

     

     

     

     

     

    7

    39

     

    7

    45

     

     

     

     

     


     

     

     

     

    50

     

     

     

     

     

     

     

     

    40

     

     

     

     

     

     

     

    d'utilité

    30

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Fonction

    20

     

     

     

     

     

     

    u(x1)

    10

     

     

     

     

     

     

    v(x2)

     

     

     

     

     

     

     

     

    0

     

     

     

     

     

     

     

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

     

     

     

     

    Quantités

     

     

     

     


     

     

    Si on veut établir le niveau de satisfaction associé à différents couples x1,x2, il suffit de suivre les formules établies : U (4,2)=u (4)+v (2)=33+30 ; U (3,5)=u(3)+v (5)=23+43=70 . Le second couple serait préféré par le consommateur, car il apporte un niveau d'utilité supérieur.

     

    On remarque que l'on est en présence de fonctions croissantes : plus on consomme, plus on tire de la satisfaction à cette consommation. Cependant, on remarque que le niveau de satisfaction augmente certes, mais de plus en plus faiblement.

     

    2.2 L'utilité marginale

     

    On appelle utilité marginale d'un bien l'accroissement d'utilité engendrée par la consommation d'une unité de bien supplémentaire, les quantités consommées des autres biens étant inchangées (toutes choses égales par ailleurs). On peut dire que l'utilité marginale est un « surplus » de satisfaction/

     

    Notons  l'utilité  marginale

    du  bien  1 :

    um(x1)  quand  l'utilité  consommée  est

    égale  à  x1 :

    um( x 1)=u(x 1+1)−u(x 1) . Ex :  um(0)=u(1)−u(0)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    x1

    u(x1)

    um (x1)

     

    x2

    v(x2)

    vm (x2)

     

    25

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    0

    0

    12

     

    0

    0

    20

     

    20

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1

    12

    8

     

    1

    20

    10

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    15

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2

    20

    7

     

    2

    30

    7

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    um (x1)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    3

    27

    6

     

    3

    37

    4

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    10

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    vm (x2)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    4

    33

    3

     

    4

    41

    2

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    5

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    5

    36

    2

     

    5

    43

    1

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    6

    38

    1

     

    6

    44

    1

     

    0

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    7

    39

    -

     

    7

    45

    -

     

     

     

     

     

    0   1   2   3   4   5   6   7   8

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


     

    On constate que l'utilité marginale est


     

    de deux manières : y' (x) ou bien

     

    . Ainsi, d'un point de vue mathématique, l'utilité marginale

    positive, mais décroissante. Cela signifie que le surplus d'utilité engendré par l'augmentation de la quantité consommé est de plus en plus faible. En d'autres termes, quand la quantité consommée augmente, l'utilité du consommateur augmente, mais cette augmentation est de plus en plus faible. Ce phénomène est facilement explicable par le sentiment de satiété du consommateur. Cependant, cela ne signifie pas que la satisfaction globale diminue. L'utilité totale U continue donc à augmenter, mais de moins en moins vite : autrement dit, l'utilité marginale diminue. U atteint son maximum au point de satiété, ou point de saturation du consommateur. En ce point, Um est nulle : une unité supplémentaire de consommation n'augmente plus la satisfaction. Si la consommation de X est poussée au delà, l'utilité marginale devient négative et U diminue à son tour.

    On parle d'hypothèse de décroissance marginale.

     

    2.3 Biens divisibles et biens indivisibles

     

    L'utilité marginale d'un bien X parfaitement divisible est la variation de l'utilité totale pour une variation infinitésimale de la quantité consommée.

     

    Les biens sont alors dits divisibles, et ainsi les quantités x1 et x2 sont des nombres réels : cela implique que  U (x 1, x 2)=u( x 1)+v (x 2) , U, u et v sont des fonctions définies sur l'ensemble des nombres réels positifs. De plus, si ces fonctions sont différenciables, le supplément d'utilité dU (x 1, x 2) , qui résulte de variations infinitésimales des consommations dx1 et dx2, s'obtient en

     

    écrivant la différentielle totale de la fonction. Donc : dU (x 1, x 2)=u'(x 1)dx 1+v' (x 2)dx 2 En effet, seul le concept mathématique de la dérivée permet d'appréhender cette définition : la dérivée d'une variable quelconque y, qui est fonction d'une autre variable x, mesure comment y varie pour une variation de x qui tend vers 0. Si y= y (x ) , on écrit la dérivée de y par rapport à x

     

    dy dx

    est la dérivée de la fonction d'utilité totale par rapport à X.

    Soit :    Um=U ' (x ) ou        Um= dUdX           .

     

    Un bien est imparfaitement divisible s'il existe une unité de mesure en deça de laquelle il est impossible de descendre (un individu ne peut utiliser ni une demi-voiture ni 0,25 paire de lunettes : la quantité de ces biens est partiellement divisible).

     

    L'utilité marginale d'un bien X imparfaitement divisible, est la variation de l'utilité totale induite par une unité supplémentaire de ce bien.

     

    Soit : ∆ U (x1, x2)=u' (x1)∆ x1 . Dans bien des cas, cette mesure n'est qu'une approximation de Um. En effet, si les biens x1 et x2 sont parfaitement divisibles, alors quelle que soit l'unité de mesure retenue, on peut toujours imaginer une quantité plus petite. Ainsi, si l'on mesure la consommation en grammes, 1 gramme ne répesente pas vraiment la consommation marginale, car on peut imaginer une consommation de 0,5 grammes. Mais si le demi gramme est retenu comme étalon, on peut toujours imaginer une consommation de 0,25 grammes et ainsi de suite. Dans ce cas, une définition rigoureuse de l'utilité marginale doit prendre en compte l'évolution de l'utilité totale qui résulte d'une variation infiniment petite de x1 et x2.

     

    Si on considère que ∆x1 = +1, alors on a : ∆ U (x 1, x 2)=u' (x 1) , c'est à dire que l'utilité marginale du bien 1 vaut la dérivée de U. On retrouve l'hypothèse de la décroissance de l'utilité marginale : si x1 augmente, alors la u'(x1) diminue et u''(x1) < 0.

     

    u(x1) et v(x2) sont des fonctions croissantes concaves, aux taux de croissance décroissants (c’est-à-dire qu'elles croissent toujours, mais de moins moins vite (idée que ça peut aller tendre jusqu'à une asymptote horizontale)).

     

    Le consommateur veut un niveau d'utilité élevé, mais va être contraint par son revenu et les prix des biens qu'il veut acquérir : il doit donc prendre en compte sa contrainte budgétaire.

    2.4 L'égalisation des utilités marginales pondérées par les prix


    On suppose que le consommateur consomme deux biens, en quantités x1 et x2, et aux prix unitaires p1 et p2. R est son revenu et U l'utilité. Pour le consommateur, il s'agit d'optimiser son niveau de satisfaction, de maximiser U, sous contraintes.

     

    Le programme du consommateur se note :

     

    MaxU (x 1, x 2)=u(x 1)+u(x 2)

     

    s /c R= p 1 x 1+ p 2 x 2  (contrainte de revenu)


     

     

    Soit

     

    Soit

     

    =>

     

     

    =>

     

     

    =>


     

     

     

    R= p 1 x 1+p 2 x 2

     

    , on a donc :

    x 2=

    p 1

    x 1+

    R

     

    p 2

    p 2

     

     

     

     

     

     

     

     

    p 1

     

     

     

     

     

     

     

    U (x 1)=u( x 1)+v (

     

    x 1+

    R

    )

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    p 2

     

     

     

     

     

     

    dU (x 1)

     

     

     

     

     

     

    p 2

     

     

     

     

     

     

     

     

    =u' (x 1)−

    p 1

    v '(

    p 1x 1+

     

    R

    )=0

     

     

    dx 1

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    p 2

    p 2

     

    p 2

     

     

     

    u'(x 1)

    p 1

    v' (x 2)=0

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    p 2

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    u' (x 1)=

    v' (x 2)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    p 1

     

     

    p 2

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


    Ces dérivées expriment les utilités marginales des biens 1 et 2 :

    um (1)

    = vm(2)

    . Ici, on voit qu'à

     

    p 1

    p 2

     

    l'optimum, il y a une égalité des utilités marginales des biens pondérés par leurs prix respectifs.

     

    2.5 Généralisation à n biens

     

    On considère maintenant que le consommateur peut consommer n biens. On a xa la quantité consommée de bien h, h appartenant à {1,2,…,n}. X est le vecteur de consommation (x1, x2,…). Le niveau de satisfaction est défini à partir du niveau d'utilité, donc de la fonction d'utilité U.

     

    En supposant que U est différenciable, on notera l'utilité marginale du bien h qui sera mesurée par la

    dérivée partielle de la fonction U par rapport à x(h), soit :                 Um(h)= U ( x 1,−, xn)>O h  . C'est

    xR

     

    l'hypothèse de non saturation des biens : le consommateur veut toujours consommer plus son bien h, donc l'utilité marginale est toujours positive. Les choix du consommateurs et donc le vecteur de consommation sont limités par sa contrainte budgétaire. On va alors établir le programme du consommateur.

     

    Programme du consommateur :

    Max U (x1, x2, xh, … , xn)

     

    s /c P 1 x 1+P 2 x 2+… PhxH +… PnxnR

     

    Fonction de Lagrange :

     

    L(x 1, x 2, .. ,xh, .. xn, ƛ)=U (x 1, x 2,... , xh,... xn)+ƛ(RP 1 x 1−P 2 x 2...−Phxh...−Pnxn)

    1°)

    L(x 1, x 2,... xh, ... ,xn, ƛ)

    =0 h  2°)

    L(x 1, x 2, …, xh, … ,xn, ƛ)=0

     

    xh

     

    ∂ƛ


     

    2°)

     

     

    1°)


    ∂ƛL =R – P1 x 1 – P 2 x 2−PhxhPnxn=0

    donc :  R=P 1 x 1+P2 x 2++Phxh++Pnxn      → A l'optimum, la contrainte est saturée.

     

    L(x 1, x 2, … , xh, … ,xn+ƛ)

    =

    U (x 1,.. ,xh, ... xn)

    −ƛ Ph=0 h

    xh

     

    xh

     


    =>  ƛ= U /∂ xh = Um(h)

    h

     

     

     

     

     

     

    Ph

    Ph

     

     

     

     

     

    =>  ƛ= Um(1)

    =Um(2)==Um (h)

    == Um(n)

     

     

     

     

    P 1

    P 2

    Ph

    Pn

    Um (1)

    = Um(2)

     

    Si  on  s'intéresse  à  un

    couple  de

    deux  biens,  on  peut  déduire :

    =>

    Um (1)

     

     

     

    . Le rapport  Um (1)

     

    P 1

    P 2

     

    =

    P1

     

    sera appelé taux marginal de substitution, TMS.

     

    Um (2)

    P2

     

     

     

    Um (2)

     

     

     

     

     

    Pour donner une interprétation de ce TMS, on va envisager des variations infinitésimales de la variation de consommation des bien 1 et 2, les quantités des autres biens restant inchangées. Le niveau de consommation du consommateur va changer, et son utilité sera donnée par la

    différentielle totale

    dU =

    U

    dx 1+

    U

    dx 2  . On va supposer qu'à l'issue des variations dx1 et

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    x 1

     

    x 2

     

     

     

     

     

    dx2

    que

    le

    niveau

    de

    satisfaction

    reste  le

    même,

    c’est-à-dire  constant.  Donc :

    dU =

    U

    dx 1+

    U

    dx 2=0  puisque dU est une variation, qui ici ne varie pas.

    x 1

     

     

     

     

     

    x 2

     

     

     

    dx 2

    = U /∂ x 1

    = Um(1)

     

    Um (1)  le  TMS  2/1.

    On

    va

    pouvoir

    en  déduire

    que

    avec

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    dx 1

    U /∂ x 2  Um(2)

     

    Um (2)

                                     

    Supposons maintenant que           dx 1=−1  cela signifie que l'on réduit la quantité consommée de 1,

    puisque « la variation de dx1 = -1 », alors

    dx 2

    =dx 2=Um (1)

    =TMS 2/1  .

     

    −1

    Um (2)

     

    Donc si la quantité de x1 diminue de 1, il faut maintenir l'utilité inchangée et donc adapter la valeur de dx2. Ce taux marginal de substitution est en fait la quantité additionnelle de biens 2 dont le consommateur doit disposer pour compenser la réduction d'une unité de bien 1 afin de maintenir son niveau de satisfaction constant. Ainsi la quantité consommée de bien 1 diminue d'une quantité, et la quantité du bien 2 augmente pour maintenir le niveau de satisfaction.

     

     

    En résumé :

    TMS 2/1=

    dx 2

    =

    Um(1)

    =

    P 1

    à l'optimum.

    dx 1

     

     

     

     

     

    Um(2)  P 2

     

     

     

    2.6 Application

     

    Étudions le cas du consommateur Mario. Il consacre à l'achat de deux biens X et Y un revenu R. On admet que les quantités qui apportent à ce consommateur une même satisfaction sont liées par la relation suivante :

     

    U (x , y )=xy    avec x la quantité consommée de X et y la quantité consommée de Y.

     

    1°) Sachant que les prix unitaires des biens X et Y sont respectivement égaux à 2 et 4, déterminez le vecteur optimal de consommation ainsi que le niveau de satisfaction lorsque Mario dispose d'un revenu R = 800.

     

    2°) On suppose maintenant que le revenu de Mario devient égal à 2400, avec des prix restants au même niveau. Calculez le niveau d'utilité atteint.

     

    Nous avons donc un programme à résoudre : Mario doit maximiser son niveau de satisfaction sous une contrainte de revenu.

     

    Programme de Mario :

    MaxU (x, y )=xy


    s /c 2 x +4 y=800

     

    La contrainte est saturée, puisque sa consommation est uniquement destinée aux biens X et Y.

     

    1ère méthode : dite de substitution

     

    Le principe est décrire la fonction d'utilité en fonction d'une seule des deux variables, ici par exemple avec x. Pour cela, il faut substituer à y la relation qui existe entre x et y, relation provenant

    de la contrainte :  2 x +4 y=800  =>

    y=200

    x

     

     

     

     

     

     

     

     

    2

    =>

    U (x , y )=xy=x (200

    x

    )

     

     

     

     

     

     

     

     

    2

     

     

     

     

     

    U (x)=200 x

    x ²

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2

     

     

     

     

     

     

    =>

    dU (x)=200 – x=0  =>

    x=200

     

     

     

     

    dx

     

    200

     

     

     

    =>

    y=200

    =100

     

     

     

     

     

     

    2

     

     

    =>

    U (x , y )=xy=20000

     

     

     

     

     

    A l'optimum, x = 200 et y = 100, donc le niveau de satisfaction maximal est égal à 20 000.

     

     

     

    2ème méthode : dite de Lagrange

    L(x, y , ƛ)=U (x , y )+ƛ(R – PxX – PyY )

     

     

     

     

     

     

     

     

    L(x, y , ƛ)=xy+ƛ(8002 x−4 y)

     

     

     

     

     

     

     

     

    L(x, y , ƛ)

    =0

    =>  y – 2 ƛ=0

     

     

     

     

     

     

     

     

    x

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    L(x, y , ƛ)

    =0

    =>  x – 4 ƛ=0

    ƛ=

    y

    =

    x

    =>

    y=

    x

     

    y

     

     

     

     

     

    2

    4

     

    2

     

    L(x, y , ƛ)

    =0  => contrainte saturée, vérifiée <=>

    2 x +4 y=800

    ∂ƛ

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Soit 2x + 4y = 800 (contrainte)

    =>     2 x +4 x2 =800          =>               4 x=800

     

    => x=200 => y=100

    =>     U (x , y )=20000

     

    2°) R 1=800 et R 2=2400=3 R1 R 1=800=2 x 1+4 y 1

     

    R2=2400=3 R 1=3(2 x 1+4 y 1)

     

    =    23 x 1+43 y 1

     

    =    2 x 2+4 y 2

    Les quantités consommées des deux biens sont multipliées par 3. Par conséquent :

    U (x 2, y 2)=x 2 y 2

     

    =     3x13y1

     

    =     x 1 y 1

    =     U (x 1, y 1)

    Donc :   f x , ƛ y)=ƛ ² f (x , y)=23x1+43y1=2x2+4y2  ,                 R2=2x2+4y2

    III. L'utilité ordinale


    Dans cette théorie, le point de départ est une représentation des préférences du consommateur qui est une simple classification, sans que la satisfaction ne soit quantifiée.

     

    3.1 Les hypothèses

     

    Les goûts du consommateur sont décrits par sa relation de préférence. La relation de préférence sur un ensemble de vecteurs de consommation x1 = ( x11 ,x21 ,…,xn1 ), x2 = ( x12 ,x22 ,…,xn2)

    C'est une relation binaire notée ainsi : ~ est préféré ou indifférent à 1.

     

    Réflexive :

    x 1x 1

     

    Transitive :

    x 1x 2

    Relation de préordre

     

    =>

    x 1x 3

     

    x 2x 3

     

    Il s'agit d'une relation de préordre complet, cela signifie que le consommateur est toujours en mesure d'exprimer soit une préférence soit une indifférence entre deux vecteurs.

     

    On suppose que le consommateur a des besoins illimités. C'est l'hypothèse de non saturation des besoins, des préférences, qu'on appelle aussi hypothèse de monotomicité.

     

     

     

     

    3.2 Les courbes d'indifférence

     

    On appelle courbe d'indifférence un ensemble de vecteurs de consommation indifférents 2

     

    à 2.

     

    Une courbe d'indifférence ou courbe d'utilité est l'ensemble des paniers (c'est-à-dire des combinaisons de biens quelconque X et Y) procurant le même niveau d'utilité, d'où le terme parfois utilisé de « courbe d'indifférence » ou courbe « d'iso-utilité ».

     

     

    Courbe d'indifférence

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Les situations correspondants aux points a, b et c sont équivalents : ils correspondent à un même niveau d'utilité. C'est-à-dire que U reste inchangée quand on se déplace le long d'une courbe d'indifférence.

     


     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Le niveau de satisfaction augmente à mesure que l'on se déplace


    vers le nord est. On a un meilleur niveau de satisfaction en C3 qu'en C1.

     

     

     

     

    Toujours d'après l'hypothèse de non saturation des préférences, les courbes d'indifférence sont décroissantes. On ne peut pas avoir une courbe d'indifférence qui soit croissante, ou de forme convexe.

     

    Si on a ce cas de figure :

    -  B est indifférent de A (B ~ A )

     

    -   A est indifférent de C (A ~ C) DONC B ~ C (hypothèse de transitivité).

     

    Or, ce n'est pas possible, B a une préférence supérieure à C au vu du graphique.

     

    L'intersection entre deux courbes d'indifférence est donc impossible.

     

     

     

     

     

    Type de biens

    Partiellement

     

    Parfaitement

    Complémentaires

     

    substituables

     

    substiuables

     

    Caractéristiques

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Courbe

     

     

     

     

     

    d'indifférence

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Explications

    Biens

    qu'il

    faut

    Biens dont

    Biens qui doivent

     

    substituer

    selon

    un

    l'utilisation ou

    fonctionner ensemble

     

    pour couvrir un besoin

     

    TMS   calculé

    pour

    acquisition permet

     

    L’accroissement de

     

    procurer

    un   niveau

    de satisfaire le

    consommation d’un seul

     

    d'utilité constant.

     

    même besoin.

    produit n’augmentera pas

     

     

     

     

    Exemple : souvent,

    la satisfaction, il faut que

     

     

     

     

    ça augmente en quantités

     

     

     

     

    un consommateur

    proportionnelles.

     

     

     

     

    consomme soit du

    Exemple :  +  1  voiture

     

     

     

     

    thé, soit du café.

    sans pneu et + 4 pneus

     

     

     

     

     

    → hausse du U. Si + 1

     

     

     

     

     

    voiture  sans  pneu  +  1

     

     

     

     

     

    pneu → pas de hausse.

     

     

     

     

     

     

     

     

    Développons maintenant à propos de la convexité.

     

    La consommation du bien 1 est réduite d'une même quantités aux points a et b. Pour maintenir le niveau de satisfaction

     


    constant, il faut substituer une quantité ∆x2 au point A et une quantité ∆x2' au point B ∆x1 → ∆x2 au point A

     

    ∆x2' au point B niveau de satisfaction identique avec ∆ > 0

     

    ∆x2'>∆x2

     

    Si on se situe au point A, on est dans la situation où x1 est importante et la quantité x2 est faible. Dans la mesure où il détient une grande quantité de biens x1, si il réduit sa consommation de biens x1, une faible augmentation de x2 suffit pour compenser la diminution de x1.

     

    Au point B, on a peu de x1 par rapport à x2. Si on diminue x1, on devra augmenter beaucoup x2, pour avoir le même niveau d'utilité. Ceci est lié à l'hypothèse de convexité des courbes d'indifférence. On peut également l'exprimer à l'aide de la notion de TMS

     

     

    Le rapport

    ∆ x 2

    correspond à la pente de la droite AA'.

    ∆ x 2

    ∆ x 1

     

    Est la pente de la droite en valeur absolue.

    ∆ x 1

     

     

     

     

    On va supposer que l'on a des variations infinitésimales.

     

     

    dx 2

    est la pente de la tangente à

    la CI

    au

    point A

    ou

     

    dx 1

     

     

     

     

     

     

     

    dx 2

    en valeur absolue.

     

     

     

     

     

    dx 1

     

     

     

    Um (1)

     

     

    On retrouve la définition du TMS 2/1 =

    dx 2

    =

    =

     

     

     

    dx 1

     

    Um (2)

     

     

    pente en valeur absolue de la tangente à la CI.

     

    Le long d'une courbe d'indifférence, le TMS varie en fonction de la force de la pente. Plus on remonte le long de la courbe, plus la pente est forte, donc le TMS dans ce cas ci augmente.

     

     

     

     

    3.3 L'équilibre du consommateur

     

    Programme du consommateur :

    Max U (x1, x2)

     

    s /c P 1 x 1+P 2 x 2     R

     


     

     

     

     

     

     

     

     

    Droite de budget :  x 2=PP21 x 1+ PR2

     


     

    TMS 2/1 =

     

    La synthèse des deux graphiques va nous permettre de déterminer l'équilibre. Il faut faire une courbe d'indifférence qui soit tangente à la droite de budget.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Le point optimal respectant la contrainte budgétaire tout en permettant d'atteindre un niveau élevé d'indifférence est le point tangent A. Il peut atteindre le point C, mais la satisfaction est moindre. Au point A :

    - Pente de la tangente à la CI (en valeur absolue)

     

    Um (1)

     

    Um (2)

     

    -  Pente de la DB (en valeur absolue)

    P 1

     

    P 2

     

    Au point A, la tangente à la CI et la DB ont la même pente :

    => TMS 2/1 =

    Um (1)

    =

    P 1

     

     

     

    Um (2)

     

    P 2

    =>

    Um (1)

    = Um(2)

     

     

     

    P 1

     

    P 2

     

     

     

     

    Ex : un étudiant veut répartir, durant ses vacances, son temps libre entre piscine et cinéma. Il établit diverses combinaisons :

     

    Niveau de satisfaction peu élevée

    Niveau de satisfaction élevé

     

     

     

     

    Séances cinéma

    Séances piscine

    C

    P

     

     

     

     

    1

    4

    1

    6

     

     

     

     

    2

    2

    2

    3

     

     

     

     

    4

    1

    3

    2

     

     

     

     

     

     

    6

    1

     

     

     

     

     

    Il possède un budget total de 18€. La séance de piscine est de 3€ ; le cinéma à 4,50€. Soit : R = 18 ; P ciné = 4,50 et P pisc = 3

     

    Soit x nombre d'entrées au cinéSoit y nombre d'entrées à piscine Contrainte budgétaire : 18 = 4,5 x + 3y

     

    En rouge : la droite budgétaire, ici confondue avec la tangente de la seconde courbe au point A.

     

    L'idée est que l'on fait apparaître un point tangent, optimum qui permet d'atteindre la satisfaction la plus haute tout en respectant sa contrainte de budget.


     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Section 3 : la demande du consommateur

     

    I. Les variations du revenu du consommateur

     

    Les points d’équilibre sont les points tangents aux points d’indifférence. Lorsqu’on relie les 3 points d’équilibre on obtient alors la courbe de consommation, aussi appelée « sentier d’expansion » du revenu.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    C’est l’ensemble des points d’équilibre lorsque l’on fait varier le revenu. X1 et x2 augmentent lorsque le revenu augmente. On appelle ce genre de biens des biens « normaux », c'est-à-dire la quantité consommée augmente lorsque le revenu augmente.

     

    Les courbes d’Engel représentent le lien qu’il existe entre les quantités consommées de certains biens et les variations de revenu.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    La courbe concave montre que plus le revenu augmente, alors plus la consommation du bien 1 augmente mais moins que proportionnellement. En revanche, la courbe convexe montre que plus le revenu augmente, alors plus la consommation du bien 2 augmente et ce proportionnellement ou plus que proportionnellement. Le bien 1 est un bien de première nécessité (nourriture par exemple), cad on ne va pas en consommer encore plus si notre revenu augmente. Le bien 2 est un bien de deuxième type (produits de luxe par exemple), cad on va en consommer de plus en plus si notre revenu augmente. Le bien 2 est donc un bien normal. Lorsque le revenu augmente, les consommations de première nécessité étant effectuées, le consommateur va consacrer une part de plus en plus importante à la consommation de biens de deuxième type.

    II. Les variations du prix d'un bien

     

    On suppose que le prix du bien 1 diminue, tandis que le montant du revenu et le prix du bien 2 restent constants (voir graphique 4 feuille). Quelles en sont les conséquences ? La consommation de x1 augmente, la consommation de x2 diminue entre e1 et e2, et la consommation de x2 augmente entre e2 et e3. Ceci s’explique par des effets que nous allons détailler.


    III. Effet de substitution et effet revenu

     

    Le premier effet est l’effet revenu. Qu’est-ce ? A la suite de la baisse du prix d’un bien, l’individu est en quelque sorte plus riche, plus riche en terme de pouvoir d’achat. Son pouvoir d’achat augmente. Il va donc pouvoir atteindre une courbe d’indifférence plus élevée. Cette augmentation le conduit à consommer des quantités plus élevées de chacun des biens.

     

    Le deuxième effet est l’effet de substitution. Qu’est-ce ? A la suite de la baisse du prix d’un bien, la consommation de ce bien devient relativement plus intéressante par rapport à la consommation d’autres biens. Ainsi, le consommateur décide de réduire sa consommation des autres biens au profit de la consommation du bien dont le prix a diminué. Cet effet de substitution va donc dans le sens d’une diminution de x2 et d’une augmentation de x1.

     

    Ces deux effets peuvent se combiner, pour aboutir à une augmentation de la consommation de x1, bien sûr. Par contre, ces deux effets ont des impacts contraires sur la consommation du bien 2, ce qui est problématique. La consommation du bien x2 est donc incertaine.

     

    Voir le document annexe. Pour essayer de mesurer ces deux effets, on va essayer d’analyser le passage de e (équilibre initial) à e’ (équilibre final). Premièrement, on suppose que la baisse de p1 s’accompagne d’une variation de revenu, qui soit telle que la satisfaction du consommateur reste à son niveau initial. On a une sorte de variation compensatrice du revenu, telle que le consommateur ne puisse pas atteindre une courbe d’indifférence supérieure, mais aussi telle qu’il reste sur la courbe d’indifférence initiale. On essaye de gommer l’effet revenu. On trace une droite de budget tangente à la nouvelle courbe d’indifférence. Le point e’’ est donc un point d’équilibre intermédiaire fictif. On fait comme si le revenu restait le même, c’est seulement la consommation de chaque bien qui change, le pouvoir d’achat restant le même (puisqu’on est toujours sur la courbe d’indifférence mais sur un autre point). E’’ met en évidence l’effet substitution. L’arrivée au point e’ est l’effet total, comprenant l’effet substitution, puis l’effet revenu.

    Donc en cas de baisse du prix du bien 1 :

     

     

    Effet substitution

    Effet revenu

    Effet total

    Bien 1

    +

    +

    +

    Bien 2

    -

    + (dans le cas des

    ???

     

     

    biens normaux)

     

     

    Sur la figure 2 du document annexe, on a le cas où le bien 1 est un bien inférieur (par exemple un bien de première nécessité), dont la part de consommation diminue proportionnellement au revenu qui augmente. L’effet revenu est donc négatif (l’augmentation du pouvoir d’achat du consommateur ne fait pas augmenter la consommation de ce bien).

     

     

     

     

     

     

    Programme :

     

    Max U (x1,x2, … xn)

    s /c P 1 x 1+P 2 x 2+PnxnR

     

    Vecteur optimal : (x1,x2, …, xn) qté demandée de bien h :


    xh = xh (p1, P2, P3, … Ph, … , Pn, … R). Ceci est la fonction de demande du bien h R(1,2, ... ,n) => n fonctions de demande

     

    On a un consommateur qui consacre un revenu R= 24 à l'achat de deux biens X et Y, dont les prix unitaires sont noté Px et Py. Les préférences de notre consommateur sont décrites par la fonction d'utilité suivante : U (x , y )=x ² y+4 avec x = qté consommé du bien X et y = qté consommée du bien Y.

     

    1°) Écrivez les fonctions de demande de chacun des deux biens, en fonction des différents paramètres.

     

    2°) Calculez les quantités consommées des biens X et Y ainsi que le niveau de satisfaction dans le cas où Px = 2 et Py = 4.

     

    3°) Mettez en évidence tous les effets d'un doublement du prix du bien X (Px' = 4)

     

    1°) Programme :

     

    Max      U (x , y )=x ² y +4

     

    s/c xPx + y Py = R (contrainte saturée)

     

     

    Résolution avec le lagrangien :

     

     

     

     

     

    L(x, y , ƛ)=x ² y +4 +ƛ(R – xPx yPy)

     

     

     

     

     

    L(x, y , ƛ)

    =0

    =>  2 xy – ƛ Px=0

     

     

     

     

     

    x

     

     

     

     

     

     

     

    L(x, y , ƛ)

    =0

    =>  x ²  ƛ Py=0

    ƛ=

    2 xy

    =

    x ²

     

    y

    Px

    Py

     

     

     

     

     

     

    L(x, y , ƛ)

    =0

    => R = xPx + yPy est vérifiée.

     

     

     

     

     

    ∂ƛ

     

     

     

     

     

     

     

    On a donc :  2 yPy=xPx

     

     

     

     

     

    =>

    y= xPx

     

     

     

     

     

     

     

    2 Py

     

     

     

     

     

     

    Soit xPx + yPy = R.

     

    Maintenant, on va exprimer cette contraint de revenu avec une seule des deux variables, ici x. On obtient : xPx+ xPx2 =R

      

    =>  3 xPx=R

    =>

    x=

    2 R

    = fonction de demande de biens X

     

    3 Px

     

    2

     

     

     

     

     

    Faisons la même chose, cette fois-ci pour Y

     

    2 yPy+ yPy=R

     

     

    R

     

     

     

    3 yPy=R  , soit

    y=

     

    = fonction de demande de biens Y

     

    3 Py

     

     

     

     

     

     

     

    2°) Px = 2, Py = 4 et R = 24.

     

    On obtient : x = 8, y = 2 (cf les fonctions de demande que l'on a déterminé) et U = 132 = E, l'équilibre initial

     

    3°) Px = 2, Px'= 4, Py = 4 et R = 24

    On obtient : x = 4, y = 2 et U = 36 = E', l'équilibre final.

     

    E'' = équilibre intermédiaire. Ce point intermédiaire a pour objectif de gommer l'effet de revenu et de mettre en évidence l'effet substitution. Px = 4, Py = 4 et U = 132.

    U (x , y )=x ² y+4=132  =>

    x ² y =128  =>

    x ² xPx

    = 128 =>  x3=256  =>  x=6.35

     

     

    2 Py

     


    => y=3,17 => R=38

     

     

    Dès lors que le prix du bien x a augmenté, si on veut rester sur la même courbe d'indifférence, il faut avoir une augmentation de revenu.

     

     

     

    Effet total

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Effet de

    substitution

    Effet de revenu

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    E

     

    E''

     

    E'

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    x

    8

     

     

    6,35

     

     

    4

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    y

    2

     

     

    3,17

     

     

    2

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    U

    132

     

     

    132

     

     

    36

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    R

    24

     

     

    38

     

     

    24

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    E → E’’ : effet de substitution

     

    E’’ → E’ : effet de revenu

     

     

     

    X

    Y

     

     

     

     

     

    Effet de substitution

    - 1,65

    + 1,17

     

    E → E ''

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Effet de revenu

    -2,35

    - 1,17

     

    E'' → E'

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Effet total E → E'

    - 4

    0